Sigma & Pi Sembollerinin Tanımı

• Toplam sembolü
• Toplam Sembolü, (∑) bir sayı dizisinin toplamını gösteren sembolü ‘dür. ∑ (Sigma), alfabesindeki bir harftir.
• Toplam Sembolüne Giriş 
• Toplam ve çarpım sembolleri, aynen üslü sayılardaki gibi, uzun bir yazımı kısaltmak için bulunmuş özel notasyonlardır. Bu semboller seriler, diziler gibi sonsuz terim ve bunların toplamını ilgilendiren konularda kullanılır. Toplam sembolü ve özelliklerine bakalım.
• ∑k=1202k−1
• Toplam sembolünde bir alt ve bir üst sınır verilir. Alt sınırdan başlayıp bir artırarak içerideki ifade hesaplanır ve araya + konur. Yukarıdaki ifadede içeri önce 1 sonra 2 ve en sonunda 20 koyup çıkan terimleri toplayacağız.
• ∑k=1202k−1=(2⋅1−1)+(2⋅2−1)+⋯+2⋅20−1=1+3+⋯+39
• Örneğin    ∑12k=1k2 nin ifade ettiği toplamı bulalım:
• ∑k=112k2=(12)+(22)+⋯+(122)
• Başka bir tane:
• ∑k=314k+2=(3+2)+(4+2)+⋯+(14+2)
• Şimdi de tersini düşünelim. Verili bir toplamı bu sembolle nasıl ifade edebiliriz. Örneğin 1+3+5+⋯+73. Tek sayıları üretmek için 2k+1 ya da 2k−1 gibi bir şey kullanmamız gerektiğini zaten sayılar konusundan biliyoruz. Alt sınırı 1 den başlatalım, dolayısıyla ilk sayının 1olabilmesi için 2k−1 i kullanmalıyız.
• ∑k=12k−1=1+3+⋯
• Üst sınırı nasıl bulacağız? Verilen toplamda en son sayı 73. İçerdeki ifadenin üretmesi gereken son sayı bu olduğuna göre 73=2k−1, son k değerinin 37 olduğu görülür.
• 1+3+⋯+73=∑k=1372k−1
• Başka bir toplam: 3+7+11+⋯+59. Terimler dörder dörder arttığı için 4k gibi bir ifade kullanmalıyız. Örneğin 4k da k=1,2,... yazarsak 4,8,12 gibi dörder dörder artan terimler oluştuğunu görürüz. İlk terim 3 ikinci terim 7, dikkat edersek verilen toplamdaki terimler, 4k nın ürettiği terimlerden 1 eksik. Dolayısıyla 1 çıkarmamız yeterli. 4k−1 ifadesi k=1 için 3, k=2için 7 ... terimlerini üretir. Son terim 59 olduğundan 4k−1=59 ve üst sınır için k=15 çıkar.
• 3+7+11+⋯+59=∑k=1154k−1
• Artışın sabit olduğu toplamlarda, artış miktarını k nın çarpanı yaparak bu artışı sağlayabiliyoruz. Sorulan ilk terime göre de bir sayı ekleyip çıkararak gereken kaymayı sağlıyoruz. Aslında alt sınırı 1 den başlatmamıza da gerek yok. Bu konuda tamamen serbestiz. Örneğin 2+7+12+ toplamında alt sınırı −2 den başlatalım. Ancak önce artış miktarına bakalım, 5. Demek ki 5k gibi bir ifade kullanmalıyız. Alt sınırı −2 istiyoruz. Şu an k=−2 için 5k=−10 oluyor. Bize sorulan toplamda ilk terim 2, demek ki 12 eklemeliyiz. 5k+12, ifadesi k=−2 için 2, k=−1 için 7 ... terimlerini üretir. Üst sınır için gene bulduğumuz ifadeyi en son terime eşitleyeceğiz. 5k+12=67 ifadesinden k=11 çıkar.
• 2+7+12+⋯+67=∑k=−2115k+12
• Artış miktarı eşit değilse terimler arasında ortak bir özellik görmeye çalışacağız.

• Çarpım Sembolüne Giriş 
• Benzer şekilde çarpım sembolünde de bir alt ve üst sınır vardır. İçerideki ifade alt sınırdan başlanarak hesaplanır ve bulunan terimler çarpılır. Örneğin
• ∏k=1102k+2=4⋅6⋯22
•  Örnekler
•       1⋅2⋯⋅100=∏k=0 
•       4⋅8⋅16⋅1024=∏k=−1
•       2⋅4⋅6⋯46=∏k=2
•       2!⋅3!⋯15!=∏k=3
•       3⋅(2⋅32)⋅(3⋅33)⋯(10⋅310)=∏k=−1
• Çözüm
•       Artış miktarı sabit ve 1, dolayısıyla k nın çarpanı 1. Alt indis k=0 ve ilk         terim 1olduğundan k+1 kullanırsak verilen terimler oluşur. Son üretilecek terim 100olduğundan üst indis 99 olmalı:
• 1⋅2⋯100=∏k=099k+1
• Terimler 2 nin bildiğimiz üsleri, k yı 2 nin üstüne koymalıyız. Alt indis k=−1 ve ilk terim 4 olduğundan 2k+3 istenen terimleri üretir. Son üretilecek terim 1024=210 dur ve dolayısıyla son k değeri 7 olmalıdır.
• 4⋅8⋯1024=∏k=−172k+3
• Çift sayılar üretmeliyiz. Yani 2k. Alt indis k=2 olduğundan 2k−2 ile geriye 2 br kaymayı sağlıyoruz. Son terim 46 olduğundan üst indis 2k−2=46 dan 24 çıkar.
• 2⋅4⋯46=∏k=2242k−2
• Terimler gene birer arttığından k nın katsayısı 1.
• 2!⋅3!⋯15!=∏k=316(k−1)!
• Parantez içindeki ilk çarpan ardışık sayılar iken ikinci çarpan 3 ün birer artan üsleridir. İlk terim sadece 3 gibi görünüyor ancak ikinci terimi bir geriye alırsak 20⋅31 olması gerektiği ve bunun da 3 olduğu görülür.
• 3⋅(2⋅32)⋅(3⋅33)⋯(10⋅310)=∏k=−18(k+2)⋅3k+2