Hakkımızda

Görev Dağılımı

• Orçun Oral 433 --- Temsilci,Codebymath.
• Ebrar Karakuş 411 --- Toplam & Çarpım Sembolü,Proje.
• Cansel Albayrak 589 --- Carl Friedrich Gauss,Proje.
• Nihal Karaca 25 --- Algoritma.
• Nurgül İrem Maşalı --- Tümevarım,Proje.

Codebymath Çalışmaları

Ardışık İki Sayının Karelerinin Toplamı

Ardışık İki Sayının Karelerinin Toplamı (Başlangıç = 15)

Ardışık İki Sayının Küplerinin Toplamı

Ebrar Karakuş 411 Proje Ödevi

Tümdengelim

Kesin sonuç veren akıl yürütmeye çıkarım, tümdengelim (dedüksiyon) denir. Bu yönteme göre, doğanın araştırılması önce gözlemlerden genel prensiplerin çıkarılması (tümevarım) ve daha sonra genel prensiplere dayanarak gözlemlerin açıklanması (tümdengelim) aşamalarını içermektedir

Zihnin kanunlardan, kurallara örneklere, olaylara inerek yeni bir yargıda bulunmasıdır. Tümevarımın tersine, genel ilkelerden özel durumlara inen bir akıl yürütme şeklidir. Burada herhangi bir genelleme (kanun, kural) ele alınır, sonra bundan yola çıkarak özele (olaya, örneğe) inilerek, yeni bir yargıya varılır.

Tümdengelim, bir ya da birden çok öncülden mantık kanunlarına göre, bir sonuçlama (netice) ispatlayış ya da çıkarsayış işlemidir.


Tarihsel Gelişim

Tümdengelim yöntemi mantıkta, bir ya da daha fazla öncülden zorunlu olarak sonucun çıkarılmasıdır ve tümelle tikel (genelle özel) arasında sıkı bir ilişki gören ve bu ilişkiyi en doğru olarak ortaya koymanın yollarını araştıran Aristotales’in buluşudur.

Aristotales, antikçağ Yunan düşüncesinde çağdaş anlamıyla ilk bilgindir. Kendisinden önce bütün bilgileri toplamış, iç içe geçmiş olanları birbirinden ayırmış, sınıflandırmış, eleştirmiş ve bütünlemeye çalışmıştır. Özellikle sonradan Metafizik adı verilen Prote Filosofia (İlk felsefe) adlı yapıtı Thales'den kendisine kadar gelen felsefe tarihinin çok başarılı bir özetidir ve en güvenilir kaynağıdır. Topladığı bilgilerin doğruluklarını ölçmek için bilimsel bir düşünme yöntemi aramış ve doğru düşünmenin kurallarını bütün ayrıntılarıyla saptamaya çalışarak bunlara doğru düşünmenin aletleri anlamına gelen organon adını vermiştir. Aristotalesin bu doğru düşünme kurallarına sonradan mantık adı verilmiştir.

Genç Aristotales henüz Akademia'da bir Platon öğrencisi iken kendisine kadar gelen düşünmede üç bakış bulunuyordu: İnsanın görünene bakışı (doğa), insanın kendisine bakışı (insan) ve insanın görünmeyene bakışı (doğa üstü)... Düşünür Aristotales yöntemsel aletler bularak bu ilkel bakışı doğru bakışa çevirmek istedi: Görünmeyenden görünene bakmak (tümdengelim "doğrulama") görünenden görünmeyene bakmak (tümevarım "araştırma")...

19. ve 20. yüzyıllarda matematiksel mantığın problemlerine ilişkin araştırmalar tümdengelimle bağıntılı nosyonlara açıklık kazandırmış ve genelden özele bir dedüksiyon, olarak tümdengelim kavramının yetersizliğini göstermiştir. Modern tümevarım kavramı Aristotales’çi sillojistik tümdengelim (genelden özele) yorumunun geniş çaplı bir genelleştirilmesidir. Dar olarak, tümdengelim, herhangi bir tümdengelimi veya çıkarsamayı belirtir.

Tümdengelim Teoremi

Mantık ötesi anahtar bir terim ki şu demektir: eğer B önermesi, A öncülünün de doğru olduğu varsayımı (assumption) üzerinde çıkarsanmışsa, o takdirde, (A muteberdir) varsayımı olmaksızın, belirli sayıda öncüllerden, mademki A vardır, öyleyse B'de vardır sonucu çıkarılabilir. Tümdengelim Teoremi önemli muhtelif mantıksal sistemlere uygulanmaktadır, klasik ve konstrüktif önermeler ve yüklemler hesabı, formel aritmetik vb. Tümdengelim teoremi, bazı sistemler için, örneğin belirli modal mantık sistemleri için geçerli değildir. Tümdengelim teoremi formalize edilmiş-olmayan muhakemede geniş biçimde kullanılır. Tümdengelim teoremi ispat sürecini basitleştirir. O, ilk olarak tek bir sistem için, Jacques Herbrand tarafından tanımlanmış ve ispat edilmiş ve genel bir metodolojik ilke olarak 1932'de Tarski tarafından formüllendirilmiştir. 

Çıkarım Çeşitleri

Çıkarımlar (dedüksiyonlar) iki ana çeşide ayrılırlar:

·         Doğrudan çıkarımlar

·         Dolaylı çıkarımlar

Doğrudan çıkarımlar
Tek bir öncülden sonuca geçilen, yani biri öncül diğeri sonuç olmak üzere iki önermeden oluşan çıkarımlardır. Zihnimizin birinci önermeden, arada başka bir önerme kullanmaksızın doğrudan doğruya, sonuç çıkarmak suretiyle yaptığı akıl yürütme şeklidir. Örneğin "Her insan canlıdır" önermesi bilinen bir gerçekse, zihminiz, hiçbir aracı önerme kullanmaksızın "Bazı canlılar, insandır" sonucunu çıkarabilir. Bu doğrudan tümdengelim şeklidir.

Bunlarda kendi içlerinde,

·         karşıolum çıkarımları,

·         eşdeğerlik çıkarımları olmak üzere iki alt çeşide ayrılırlar.

Karşıolum çıkarımları,

·         karşıtlık çıkarımları,

·         altlık çıkarımları,

·         çelişki çıkarımları çeşitlerini kapsarlar.

Bunun gibi eşdeğerlik çıkarımları,

·         evirme,

·         çevirme,

·         devirme çeşitlerini içine alır.

Dolaylı çıkarımlar 
Zihnimizin, birinci önermeden sonuca geçerken, arada başka önermelerden yararlanmak suretiyle yapmış olduğu akıl yürütme şeklidir, en az iki öncül ve bir sonuç önermesinden kurulu yani en az üç önermeyi içeren çıkarımlardır. Örneğin: "İnsanlar ölümlüdür, Sokrates insandır. O halde Sokrates'de ölümlüdür. Ya da matematiksel:
Dolaylı çıkarımlar kendi içinde iki ana çeşide ayrılırlar:

1.   kategorik tasım,

2.   kategorik olmayan tasım.

Kategorik tasım, öncülleri ve sonucu yani tüm önermeleri basit (kategorik) önermelerden oluşan tasımdır.

Kategorik olmayan tasım ise,

1.   hipotetik tasım,

2.   disjunktif tasım,

3.   ikilem (dilemma) olarak kendi içinde üç alt çeşide ayrılır.

Cansel Albayrak 589 Matematik Proje Ödevi

TÜMDENGELİM YÖNTEMİ NEDİR?

Tümdengelim-Tümevarım ;

Tümdengelim; genelden özele ya da yasalardan olaylara geçiş şeklindeki akıl yürütmedir.
Örn: “Bütün balıklar denizde yaşar.”, “Kefal balıktır. O halde, kefal de denizde yaşar” çıkarımı, tümdengelim türü bir akıl yürütmedir. Kıyas, tümdengelimin en mükemmel şekli olarak kabul edilir. Bu nedenle, klasik mantık akıl yürütmede esas olarak kıyası almıştır.
Tümelden tikeli ve genelden özeli çıkaran uslamlama yöntemi... Tümdengelim, doğru olan ya da doğru olduğu sanılan önermelerden zorunlu olarak çıkan yeni önermeler türetir. Öncüller doğruysa sonuç da mantıksal bir zorunlulukla doğrudur. “Örneğin: insan ölümlüdür , Ahmet insandır öyleyse Ahmet de ölümlüdür” tasımı, tümden gelen bir tasımdır. Bütün insanların ölümlü oldukları doğruysa Ahmet de bir insan olduğuna göre Ahmet’in de ölümlü olması zorunludur, başka türlü olamaz.
Deneysel bilimin , tümevarımcı bilgi yönteminin kurucusu Francis Bacon deneye başvurmadığı, salt düşünsel bir uslamlama olduğu için tümdengelimi yadsımıştır. Buna karşıt Hegel , tersine, ancak tümdengelenin gerçek olduğunu, bireyselden yola çıkılarak tüme varılamayacağını savunmuştur. Ona göre idealizm için tek geçerli yöntem, tümdengelim yöntemidir.
Tümdengelim ve tümevarım yöntemleri, tümelle tikel (genelle özel) arasında sıkı bir ilişki gören ve bu ilişkiyi en doğru şekilde ortaya koymanın yollarını araştıran Aristoteles’in buluşudur. Genelden özele inen tümdengelim yöntemiyle özelden genele çıkan tümevarım yöntemi 17. yüzyıldan itibaren bir hayli gelişmiştir. Özellikle bu iki yöntem arasındaki bağlılık, ikisinin birlikte kullanılması diyalektik mantıkta gerçekleşmiştir


Kesin sonuç veren akıl yürütmeye çıkarım, tümdengelim (dedüksiyon) denir. Bu yönteme göre, doğanın araştırılması önce gözlemlerden genel prensiplerin çıkarılması (tümevarım) ve daha sonra genel prensiplere dayanarak gözlemlerin açıklanması (tümdengelim) aşamalarını içermektedir.
Tümdengelim; tümelden tikeli ve genelden özeli çıkaran uslamlama yöntemidir. Tümdengelim, doğru olan ya da doğru olduğu sanılan önermelerden zorunlu olarak çıkan yeni önermeler türetir. Öncüller doğruysa sonuç da mantıksal bir zorunlulukla doğrudur.
Zihnin kanunlardan, kurallara örneklere, olaylara inerek yeni bir yargıda bulunmasıdır. Tümevarımın tersine, genel ilkelerden özel durumlara inen bir akıl yürütme şeklidir. Burada herhangi bir genelleme (kanun, kural) ele alınır, sonra bundan yola çıkarak özele (olaya, örneğe) inilerek, yeni bir yargıya varılır.
Tümdengelim, bir ya da birden çok öncülden mantık kanunlarına göre, bir sonuçlama (netice) ispatlayış ya da çıkarsayış işlemidir.
Tümdengelimle varılan bir sonuç, bir önermeler zinciridir ki, burada, önermelerin mantık kanunlarıyla doğrudan doğruya çıkarılan bir öncül ya da bir önermedir. Tümdengelimle varılan bir sonuçlamada, neticeler öncüllerde saklıdır, mantıksal analiz metotlarıyle çıkarsanmaları icap eder. Tümdengelimin temelinde “bütün için doğru olan, parçaları için de doğrudur” ilkesi yatar.

Tümevarım; özelden genele ya da olaylardan yasalara geçiş şeklindeki, akıl yürütmedir. Örn: “Gözlediğim bütün kargalar siyahtı. O halde bütün kargalar siyahtır “ çıkarımı, tümevarım şeklinde bir çıkarmadır. Özel gözlemlerden genel bir sonuca ulaşılmıştır.
Genelden özele, tümelden tekele giden genel yasadan örnek ya da özel bir uygulamasını çıkarsayan tümdengelime karşıt olarak, özelden genele tek tek olgulardan genel yasalara ulaşan tekil gözlem önermelerinden sınırlanmamış genellemelere yükselen akıl yürütme türü, genelleme.

Tekil ve tikelden tümeli, özelden geneli çıkaran uslamlama yöntemi... Francis Bacon, bilimsel araştırma yönteminin felsefesel içeriğini saptayarak tümevarımı şöyle tanımlamıştır: “bilmek için sınamak, gözlemlemek, olayları çözümlemek ve sonra ayrı olaylardan genellemeler yapmak ve sonuçlar çıkarma yöntemi” . tümevarım yöntemi , bilimsel önemini 17. ve 18. yüzyıllarda kazanmış ve Francis Bacon, Galile , Newton ve John Stuart Mill’in katkılarıyla bir hayli gelişmiştir. Bugün iki türlü tümevarım ayırt edilmektedir: Bir sınıfa giren bütün öğelerin incelenmesi sonucu olan tam tümevarım, bütün öğelerin incelenemeyeceği durumlarda zorunlu olarak başvurulan ve çok sayıda öğenin incelenmesiyle yetinen eksik tümevarım. Eksik tümevarımlarda varılan sonuç belkili bir sonuçtur. Örneğin birçok kedinin kuyruklu olduğuna bakarak bütün kedilerin kuyruklu olduğu yolunda tümevarımsal bir sonuç çıkarırız, ne var ki Man adalarında yaşayan kediler kuyruksuzdur. Bu yüzden “bütün kediler kuyrukludur” dememiz daha doğru olurdu.
Deneysel bilimler, olaylardan yasalara götüren bir yöntem olan tümevarım yöntemini kullanırlar, tümdengelimi kullanırlar . örneğin bir buz parçasının ateş üstünde eridiğini birçok kez görsek “ateş buzu eritir” tümevarımını uslamlarız. Bilim, şöyle bir tasımlama yaparak bunu yasalaştırır: birinci öncüle nedensellik ilkesini koyar ve “ aynı nedenler aynı koşullarda aynı sonuçlar verir” der. İkinci öncüle deneylerimizin sonuçlarını yerleştirir ve “ateş buzu eritir” der. Sonra bu sonucu tümelleyip bilimsel bir yasa haline getirir ve “ısı her zaman buzu suya dönüştürür” der. Bu yasayı bilimsel olarak ortaya koyan , görüldüğü gibi, nedensellik ilkesidir, sadece gözlemlerimiz ve deneylerimiz değildir
Diyalektik materyalizm, tümevarımla tümdengelimi, bilgi sürecinin, birbirlerini belirleyen ve kopmaz bir bağımlılık içinde bulunan yanları olarak görür; ayrı ayrı yeterli bulmaz ve bunlardan birinin saltıklaştırılmasına karşıdır. Tümevarımla tümdengelimin bağımlılığı, kuramla kılgının bağımlılığı gibidir. Deneysel verilerden kuramsal sonuçlar çıkarılırken (tümevarım) o kuramsal sonuçları deneyleyerek (tümdengelim) doğrulamak gerekir.


Tümdengelim yöntemi mantıkta bir ya da daha fazla öncülden zorunlu olarak sonucun çıkarılmasıdır ve tümelle tikel (genelle özel) arasında sıkı bir ilişki gören ve bu ilişkiyi en doğru olarak ortaya koymanın yollarını araştıran Aristotoles’in buluşudur.
Aristotales, antikçağ Yunan düşüncesinde çağdaş anlamıyla ilk bilgindir. Kendisinden önce bütün bilgileri toplamış, iç içe geçmiş olanları birbirinden ayırmış, sınıflandırmış, eleştirmiş ve bütünlemeye çalışmıştır. Özellikle sonradan **** fizik adı verilen Prote Filosofia (İlk felsefe) adlı yapıtı Thales'den kendisine kadar gelen felsefe tarihinin çok başarılı bir özetidir ve en güvenilir kaynağıdır. Topladığı bilgilerin doğruluklarını ölçmek için bilimsel bir düşünme yöntemi aramış ve doğru düşünmenin kurallarını bütün ayrıntılarıyla saptamaya çalışarak bunlara doğru düşünmenin aletleri anlamına gelen organon adını vermiştir. Aristotalesin bu doğru düşünme kurallarına sonradan mantık adı verilmiştir.
Genç Aristotales henüz Akedemia'da bir Platon öğrencisi iken kendisine kadar gelen düşünmede üç bakış bulunuyordu: İnsanın görünene bakışı (doğa), insanın kendisine bakışı (insan) ve insanın görünmeyene bakışı (doğa üstü)... Düşünür Aristotales yöntemsel aletler bularak bu ilkel bakışı doğru bakışa çevirmek istedi: Görünmeyenden görünene bakmak (tümdengelim "doğrulama") görünenden görünmeyene bakmak (tümevarım "araştırma")...
Ne varki bu doğru bakışı gerçekleştirmek için düşünmenin bilimden yararlanması, eşdeyişle düşünce-doğabilim diyalektiği gerekiyordu. O çağın bilimleriyse düşünmenin pek gerisindeydiler. Bu yüzdendir ki düşünür Aristotales, düşünmesine karşılık verecek bilimi de kendisi yapmak zorundaydı. Çeşitli bilim alanlarındaki, çağının ölçülerine göre pek geniş, bilimsel çabalarının nedeni budur. Bu bilimsel çalışmalardan ve bu çalışmalar sırasında ilk felsefe (prote filosofia) doğdu. Artık çağıyla zorunlu imkanlar içinde, geleneksel büyük soruya karşılık aranacaktır: İlkneden nedir?... İlkneden en son ve en gelişmiş, Platon'un ideası olamaz. Çünkü idea görünen sayısız gerçek biçimlerinin içindedir ve o biçimlerden soyularak, eşdeyişle içlerinden çıkarılarak elde edilmiştir. Kaldı ki Platon, bu idealara nesnelere özü demektedir, öyleyse öz nasıl biçimsel nesneden ayrı ve onun dışında olabilir? Öz'süz biçim ve biçim'siz öz olamaz.

Öyleyse görünenden görünmeyene bakıp araştırmalıyız ama bulduğumuzu da görünmeyenden görünene bakıp (tümdengelim) doğrulamalıyız. Tümevarımla araştırıp ideayı buluyoruz, şimdi onu tümdengelimle doğru yerine oturtmalıyız.

Genelden özele inen tümdengelim yöntemi ile özelden genele çıkan tümevarım yöntemi 17. Yüzyıldan itibaren bir hayli geliştirilmiştir. Özellikle bu iki yöntem arasındaki bağlılık, ikisinin birlikte kullanılması diyalektik mantıkla gerçekleşmiştir.
19. ve 20. yüzyıllarda matematiksel mantığın problemlerine ilişkin araştırmalar tümdengelimle bağıntılı nosyonlara açıklık kazandırmış ve genelden özele bir dedüksiyon, olarak tümdengelim kavramının yetersizliğini göstermiştir. Modern tümevarım kavramı Aristotoles’çi sillojistik tümdengelim (genelden özele) yorumunun geniş çaplı bir genelleştirilmesidir. Dar olarak, tümdengelim, herhangi bir tümdengelimi veya çıkarsamayı belirtir.

Tümdengelimsel Metot Tümdengelimsel Metot, yalnızca tümdengelimsel tekniklere dayanan bir bilimsel çıkarsama metodudur. Felsefede tümdengelimsel metot ve diğer metotlar arasında ayırıcı bir çizgi çizme ve tümdengelimsel muhakemeyi tecrübenin dışlanması ve bilimde tümdengelime aşırı önem verilmesi olarak tanımlama hususunda girişimlerde bulunulmuştur. Fakat tümdengelim ve tümevarım arasında karşılıklı bağıntı vardır ve tümevarımsal muhakeme insanoğlunun yüzyıllarca süren pratiksel ve bilgisel çabasına dayalıdır.

 Tümdengelimsel metot, genel olarak ampirik verilerin, bunların birikişinden ve teorik biçimde yorumlanışından sonra, uygun bütün sonuçları daha tam ve daha tutarlı biçimde çıkarsamak amacıyla sistemleştirilmesinde kullanılan geçerli bilimsel çıkarsama metotlarından birisidir. Bu metot yeni bilgiyi, diğer şeyler arasında, dedüktif bir tarzda formüle edilmiş olan bir teorinin mümkün yorumlarının bir toplamı kabul eder.
Tümdengelim Teoremi Mantık ötesi anahtar bir terim ki şu demektir: eğer B önermesi, A öncülünün de doğru olduğu varsayımı (assumption) üzerinde çıkarsanmışsa, o takdirde, (A muteberdir) varsayımı olmaksızın, belirli sayıda öncüllerden, mademki A vardır, öyleyse B'de vardır sonucu çıkarılabilir. Tümdengelim Teoremi önemli muhtelif mantıksal sistemlere uygulanmaktadır, klasik ve konstrüktif önermeler ve yüklemler hesabı, formel aritmetik vb. Tümdengelim teoremi, bazı sistemler için, örneğin belirli modal mantık sistemleri için geçerli değildir. Tümdengelim teoremi formalize edilmiş-olmayan muhakemede geniş biçimde kullanılır. Tümdengelim teoremi ispat sürecini basitleştirir. O, ilk olarak tek bir sistem için, Jacques Herbrand tarafından tanımlanmış ve ispat edilmiş ve genel bir metodolojik ilke olarak 1932'de Tarski tarafından formüllendirilmiştir.

                                                                                  

Algoritmanın Tarihçesi

Algoritmanın Tarihçesi 

Algoritma sözcüğü, Özbekistan'ın Harezm, bugünkü Türkmenistan'ın Khiva kentinde doğmuş olan Ebu Abdullah Muhammed İbn Musa el Harezmi adındaki İran'lı alimden kaynaklanır. Bu alim 9. yüzyılda cebir alanındaki algoritmik çalışmalarını kitaba dökerek matematiğe çok büyük bir katkı sağlamıştır. "Hisab el-cebir ve el-mukabala" kitabı dünyanın ilk cebir kitabı ve aynı zamanda ilk algoritma koleksiyonunu oluşturur. Latince çevirisi Avrupa'da çok ilgi görür. Alimin ismini telaffuz edemeyen Avrupalılar "algorizm" sözcüğünü "Arap sayıları kullanarak aritmetik problemler çözme kuralları" manasında kullanırlar. Bu sözcük daha sonra "algoritma"ya dönüşür ve genel kapsamda kullanılır.

Faaliyetlerin birçoğu algoritmanın tanımının geliştirilmesine yönlendirilmiştir ve aktifliği çevredeki sorunlar nedeniyle, özellikle matematiğin temelleri(özellikle Church-Turing tezi) ve akıl felsefesi(özellikle yapay zeka konusundaki tartışmalar) sebebiyle devam etmiştir.

Algoritmanın Kronolojik Sırası : 

Yaklaşık M.Ö. 1600 – Babilliler bilinen ilk çarpanlara ayırma ve kök bulma algoritmasını geliştirdiler.

Yaklaşık M.Ö. 300 – Öklid algoritması

Yaklaşık M.Ö. 200 – Eratosthenes Elemesi

263 – Gaussal eleme, Liu Hui tarafından tanımlandı.

813 ve 833 yılları arasında Harezmi doğrusal ve ikinci dereceden denklemleri çözmek için bir algoritma geliştirdi. Algoritma ismi bu kişinin adından türetilmiştir

1614 – John Napier logaritmayi kullanan hesaplamaları yapmak için bir metod geliştirdi

1671 – Newton-Raphson metodu, Isaac Newton tarafindan geliştirildi.

1690 – Newton-Raphson methodu bağımsız olarak Joseph Raphson tarafından da bulundu

1805 – Cooley-Tukey algoritmasi Carl Friedrich Gauss tarafından biliniyordu

1926 – Boruvka algoritması

1934 – Delaunay üçgen bölümlemesi Boris Delaunay tarafından geliştirildi

1940′lar

1945 – Birleştirmeli sıralama John von Neumann tarafından geliştirildi

1947 – (Simplex algoritması) basit/tekyönlü algoritma George Dantzig tarafından geliştirildi.

1950′ler

1952 – Huffman kodlaması David A. Huffman tarafından geliştirildi

1954 – Radix sıralaması bilgisayar algoritması Harold H. Seward tarafından geliştirildi.

1956 – Kruskal algoritması Joseph Kruskal tarafından geliştirildi.

1957 – Prim algoritması Robert Prim tarafından geliştirildi.

1957 – Bellman-Ford algoritması R. Bellman ve L. R. Ford tarafından geliştirildi.

1959 – Dijkstra algoritması Edsger Dijkstra tarafından geliştirildi.

1959 – Shell sıralaması D. L. Shell tarafından geliştirildi.

1959 – De Casteljau algoritması Paul de Casteljau tarafından geliştirildi.

1960′lar

1960 – Hızlı Sıralama C. A. R. Hoare tarafından geliştirildi.

1962 – Ford-Fulkerson algoritması L. R. Ford ve D. R. Fulkerson tarafından geliştirildi.

1962 – Bresenham doğru algoritması Jack E. Bresenham tarafından geliştirildi.

1964 – Öbek-sıralama J. W. J. Williams tarafından geliştirildi.

1965 – Cooley-Tukey algoritması James Cooley ve John Tukey tarafından yeniden bulundu.

1965 – Levenshtein aralığı ) Vladimir Levenshtein tarafından geliştirildi.

1965 – Cocke-Younger-Kasami (CYK) algoritması bağımsız olarak T. Kasami tarafından geliştirildi.

1967 – Viterbi algoritması Andrew Viterbi tarafından önerildi.

1967 – Cocke-Younger-Kasami (CYK) algoritması bağımsız olarak D. H. Younger tarafından geliştirildi.

1968 – A* grafik arama algoritması Peter Hart, Nils Nilsson ve Bertram Raphael tarafından geliştirildi.

1970′ler

1970 – Knuth-Bendix completion algoritması Donald Knuth ve P. B. Bendix tarafından geliştirildi.

1972 – Graham taraması Ronald Graham tarafından geliştirildi.

1973 – RSA şifreleme algoritması Clifford Cocks tarafından geliştirildi.

1973 – Jarvis march algoritması R. A. Jarvis tarafından geliştirildi.

1974 – Pollard’ın p-1 algoritması John Pollard tarafından geliştirildi.

1975 – Genetik algoritma John Holland tarafından popülerleştirildi.

1975 – Pollard’ın ro algoritması John Pollard tarafından geliştirildi.

1975 – Aho-Corasick algoritması Alfred V. Aho ve Margaret J. Corasick tarafından geliştirildi.

1976 – Salamin-Brent algoritması bağımsız olarak Eugene Salamin ve Richard Brent tarafından geliştirildi.

1976 – Knuth-Morris-Pratt algoritması Donald Knuth ve Vaughan Pratt ve bağımsız olarak J. H. Morris tarafından geliştirildi.

1977 – Boyer-Moore string (karakter öbeği) arama algoritması bir harf öbeğinin başka bir harf öbeği içerisinde bulunup bulunmadığını arayan algoritma geliştirildi.

1977 – RSA şifreleme algoritması Ron Rivest, Adi Shamir ve Len Adleman tarafından yeniden bulundu.

1977 – LZ77 algoritması Abraham Lempel ve Jacob Ziv tarafından geliştirildi.

1978 – LZ78 algoritması LZ77 algoritmasından Abraham Lempel ve Jacob Ziv tarafından geliştirildi.

1978 – Bruun’un algoritması ikinin katları için G. Bruun tarafından önerildi.

1979 – Khachiyan’ın ellipsoit metodu Leonid Khachiyan tarafından geliştirildi.

1980′ler

1981 – İkinci dereceden eleme metodu Carl Pomerance tarafından geliştirildi.

1983 – Simule edilmiş tavlama metodu (Simulated annealing) S. Kirkpatrick, C. D. Gelatt ve M. P. Vecchi tarafından geliştirildi.

1984 – LZW algoritması LZ78′den Terry Welch tarafından geliştirildi.

1984 – Karmarkar’ın iç nokta algoritması Narendra Karmarkar tarafından geliştirildi.

1985 – Simule edilmiş tavlama metodu (Simulated annealing) bağımsız olarak V. Cerny tarafından geliştirildi.

1986 – Blum Blum Shub L. Blum, M. Blum, ve M. Shub önerildi.

1988 – Özel sayı alanı elemesi John Pollard tarafından geliştirildi.

1990′lar

1990 – Genel sayı alanı elesi Özel sayı alanı elesi yönteminden Carl Pomerance, Joe Buhler, Hendrik Lenstra, ve Leonard Adleman tarafından geliştirildi.

1991 – Beklemesiz senkronizasyon Maurice Herlihy tarafından geliştirildi.

1992 – Deutsch-Jozsa algoritması D. Deutsch ve R. Jozsa tarafından önerildi.

1994 – Shor’un algoritması Peter Shor tarafından geliştirildi.

1994 – Burrows-Wheeler dönüşümü Michael Burrows ve David Wheeler tarafından geliştirildi.

1996 – Grover’ın algoritması Lov K. Grover tarafından geliştirildi.

1996 – RIPEMD-160 Hans Dobbertin, Antoon Bosselaers, ve Bart Preneel tarafından geliştirildi.

1998 – Rsync algoritması Andrew Tridgell tarafından geliştirildi.

1999 – Yarrow algoritması Bruce Schneier, John Kelsey, ve Niels Ferguson tarafından tasarlandı.

2000′ler

2001 – LZMA sıkıştırma algoritması.

2002 – AKS öncelik testi primality test Manindra Agrawal, Neeraj Kayal ve Nitin Saxena tarafından geliştirildi.

Algoritmanın Tanımı : 

Algoritmaları daha kolay anlatabilmek için akış şemaları kullanılır.

Belli bir durumdan başlayarak sonlu sayıda adımda belli bir sonucu elde etmenin yöntemini tarif eden iyi tanımlanmış (well-defined) kurallar kümesine algoritma denir. Dolayısıyla algoritma, bir sonucun bulunmasını kolaylaştıran ama deneme-yanılma ve sezgisel çözümlemeye karşıt olan bir yöntemdir. Algoritmalar özel durumlara çözüm sunmazlar.

Genel çözümlerin işlem basamaklarını içerirler. Bir algoritmanın çalışmasındaki mutlak zorunluluk; her türl belirsizlikten arınmış olmasıdır. Bir algoritmanın yürütülmesi, her biri bir komutla belirlenen bir etiketler dizisi oluşturur ve bu dizi, önceki komutun yürütülmesinin sona ermesiyle birlikte yürütülmeye başlar. Algoritmanın temel yapısı olan, zaman içindeki bu sıralılık, süreçli programlamada temel bir varsayımdır.

Genel olarak algoritmanın aşağıdaki özellikleri ele alınmaktadır: 

•  Genellik
•  Kesin sıralılık
•  Sırayı belirleyen kumanda yapısı
•  Sonluluk ve nicelik

Nurgül İrem 565 Matematik Proje Ödevi

Matematiksel İspat Teknikleri

Matematikte teoremler ve önermeler kendilerine özgü iç estetiğe sahip ispatlara dayanır. İspat teknikleri 4 temel başlık altında incelenebilir. 

1. Doğrudan İspat
2. Ters Durum İspatı
3. Olmayana Ergi (Çelişki) İspatı
4. Tümevarım İle İspat

1-) Doğrudan İspat : En bilinen ve kolay ispat tekniklerinden biridir. Bu ispat
tekniğinde, bize teorem veya önerme içinde verilen şartlar aynen alınıp gösterilmek
istenen sonuca ulaşılmaya çalışılır. Yani bilinen veya bize teoremde verilen bilgileri
kullanarak istenilen sonuca ulaşmaya çalışacağımız tekniktir. Bu teknik genel olarak;
P --> Q (P ise Q)
Şeklinde gösterilir. P hipotezinin (sol tarafın) doğru olduğu kabul edilerek, sağ tarafın (Q
nun) doğruluğu elde edilir.

Örnek 1 : Bir tek ve bir çift tamsayının toplamı tektir.

İspat 1 : Önce m ve n gibi iki tane tamsayı ele alalım. Açıklamada da belirtildiği gibi
bunlardan birinin tek, diğerinin çift olduğunu kabul ederek, toplamlarının tek olduğunu
göstereceğiz. Mesela m tek ve n de çift olsun. m+n nin tek olduğunu göstereceğiz. m
tek ve n de çift olduğundan;
m = 2a + 1
n = 2b
olacak şekilde öyle a ve b tamsayıları vardır. Yani tüm tek sayıları 2a+1 ve tüm çift
sayıları 2b şeklinde yazabiliriz. Bizden m+n isteniyordu.
m + n = 2a + 1 + 2b = 2a + 2b + 1 = 2(a + b) + 1
olur. a ve b tamsayı olduğundan a + b de bir tamsayıdır ve a + b ye k gibi bir tamsayı
dersek;
m + n = 2(a + b) + 1 = 2k + 1 olur.
Yani m + n = 2k + 1 şeklinde yazılabilir. Öyleyse m + n tek sayı olmalıdır. İspat
tamamlanır.

Örnek 2 : Bir tamsayı 6 ile bölünebilirse, 2 katı 4 ile bölünebilir.

İspat 2 : Bir a tamsayısını ele alalım. 6 ile bölünebildiğini kabul edelim. O zaman k bir
tamsayı olmak üzere a=6k şeklinde yazılabilir. (Yani 6 ile bölünebiliyorsa k gibi bir
tamsayının 6 katı olacaktır). Bunun 2 katı 4 ile bölünebilir mi diye bakacağız. 2 katını
alırsak;

2a = 2.6k = 12k olur.
Biz 12 yi aynı zamanda 4.3 olarak da yazabiliriz. O zaman;
2a = 12k = (4.3)k = 4.(3k) olur.
k bir tamsayı olduğundan 3k da bir tamsayı olacaktır. Dolayısıyla buna m gibi bir
tamsayı dersek;
2a = 4.(3k) = 4m olur.

Bu da bize 2a nın, 4 ün bir katı olduğunu yani 4 ile bölünebildiğini gösterir. Böylece ispat tamamlanır. Bu tür önermeleri doğrudan ispat tekniğini kullanarak görüldüğü gibi ispatlayabiliriz. Bu ispat tekniği kolay olmasına karşın bize her zaman yardımcı olmayabilir. Mesela "Karesi çift olan bir sayının kendisi de çifttir" şeklindeki bir önermenin ispatını bu yöntemle vermek oldukça güçtür. Bu sebeple başka ispat yöntemleri geliştirilmiştir.

2 - Ters Durum İspatı : Bu ispat genel olarak P ise Q yu göstermek yerine Q değil
ise P nin de olamayacağını göstermeye dayanır. Yani bu ifadeyi sözle açıklamak
istersek; bize verilen kabullerden yararlanarak istenileni bulmak yerine, istenilenin
olmaması (değilinin olması) durumunda, kabullerimizin de olamayacağını (yani
değillerinin doğru olması gerektiğini) göstermeye dayanan bir ispat tekniğidir. Bu tekniği
örnekler üzerinde daha rahat anlaşılabilir. Az önce belirttiğimiz önermeyi bu yöntemle
ispatlamaya çalışalım;

Örnek 3 : Karesi çift olan bir sayının kendisi de çifttir.

İspat 3 : Burada P dediğimiz olay sayımızın karesinin çift olması, Q dediğimiz olay da bu
sayının kendisinin çift olması yani;
P = a sayısının karesi çifttir.
Q = a sayısının kendisi çifttir.
(hatırlatma : bize verilen kabuller P olarak, istenen ise Q olarak kabul edilir). İlk ispat tekniğimizde P ise Q yu gösteriyorduk ve o teknikle bunu ispatlamanın güç olacağına deyinmiştik. Öyleyse şimdiki ispat tekniği ile yani Q değil ise P nin de olamayacağını gösterelim. Bunu söz ile ifade etmek istersek, bizim göstereceğimiz "Eğer a sayısı tek ise karesi de tektir." Bu ispat tekniğinde dikkat edilmesi gereken nokta bu Q değil ise P nin olmayacağını doğru olarak ifade etmektedir. Özetleyecek olursak; bu ispat tekniğinde "a nın karesi çift ise a da çifttir" ifadesini göstermek yerine "a tek ise karesi
de tektir" ifadesini göstereceğiz. Şimdi bunu görelim. a yı tek kabul ettiğimizden, öyle bir
k tamsayısı için a yı;
a = 2k + 1 olarak yazabiliriz.
a nın karesinin tek olduğunu göreceğiz. Karesini alırsak;
a2 = 4k2 + 4k + 1 = 4(k2 + k) + 1 olur.
ve k2 + k bir tamsayı olacağından buna m dersek;
a2 = 4(k2 + k) + 1 = 4m + 1 = 2.2m + 1
2m ifadesine de t dersek;
a2 = 2t +1 olur.
Bu da bize a2 nin tek olduğunu gösterir. Öyleyse a sayısı eğer tek ise karesinin de mutlaka tek olması gerektiğini gösterdiğimizden, karesi çift ise sayının kendisinin de çift olması gerektiğini söyleyebiliriz. Bu yöntemle önermeyi ilk yönteme göre çok daha kolaylıkla ispatlamış oluyoruz.

Örnek 4 : Eğer bir x sayısı pozitif ise ardışığı da pozitiftir.

İspat 4 : Bizden soruda x>0 ise x+1>0 olduğunu göstermemizi istiyor. Ters durum ispat
tekniği ile bunu ispatlamaya çalışırsak; P olayımız x>0 olması ve Q olayımız da x+1>0
olması olduğundan, tekniğe göre Q değil ise P nin de olamayacağını yani; x+1<0 ise
x<0 olması gerektiğini göstermeliyiz. (sıfıra eşit olma durumunu göz önüne almıyoruz
çünkü x+1=0 olduğunda x=-1<0 olduğu ve şartı sağladığı aşikardır). Öyleyse elimizde
şimdi x+1<0 kabulü var.
x+1<0 ise x<-1 ve -1<0 olduğundan x<-1<0 yani x<0 dır.
Böylece x+1<0 ise x in mutlaka x<0 şartını sağlayacağını gösterdiğimizden x>0
olduğunda
x+1 mutlaka x+1>0 şartını sağlamalıdır diyebiliriz.


Örnek 5 : X.Y tek sayıdır ancak ve ancak X ve Y nin her ikisi de tektir.

İspat 5 : Ancak ve ancak türünden ifade edilen önermelerde, önermeyi iki taraflı
ispatlamalıyız. Önce sol tarafın doğruluğunu kabul edip sağ tarafı gösterelim. Yani, X.Y
tek sayı ise X ve Y nin her ikisinin de tek olması gerektiğini görelim. Bunu ters durum
ispatı ile gösterelim.
(==>)
P = X.Y nin tek sayı olması
Q = X ve Y nin her ikisinin de tek olması.
Burada tekniğe göre öncelikle Q nun değilini alıp, buradan P nin değilini elde etmemiz
gerekir. Sizin de gördüğünüz gibi bu önermede Q nun değili 2 ye ayrılmaktadır. Yani X
ve Y nin her ikisinin birden tek olmaması durumu, ya ikisinin de çift olması ya da birinin
çift diğerinin tek olması durumunu getirir. Önce her ikisinin de çift olması durumunu
inceleyelim;
X ve Y her ikisi de çift ise öyle A ve B tamsayıları için
X = 2A ve Y = 2B olsun. Öyleyse;
X.Y = 2A.2B = 2(A.2B)
ve A.2B de bir tamsayı olacağından buna C dersek;
X.Y = 2(A.2B) = 2C yani X.Y = 2C olur.

Öyleyse X.Y çifttir. X ve Y nin her ikisini de çift olduğu takdirde X.Y nin çift olması
gerektiğini gösterdiğimizden ispatın bu bölümü tamamlandı.
X tek ve Y çift olması durumunu ele alalım. Öyleyse uygun A ve B tamsayıları için;
X = 2A+1 ve Y = 2B olsun.
X.Y = (2A+1).(2B) = 4AB + 2B = 2(2AB + B) olur.
Yine 2AB + B sayısı bir tamsayı olacağından buna C gibi bir tamsayı dersek;
X.Y = 2(2AB + B) = 2C olur.
Yani yine X.Y nin bir çift sayı olduğunu bulduk.
Öyleyse ters durum ispatına göre Q nun değili durumları olan X ve Y nin çift olması
veya birinin çift diğerinin tek olası durumlarında P nin değili yani X.Y nin çift olması
gerektiğini gösterdiğimizden ispatın bu tarafı tamamlanır. Şimdi de ispatın diğer yönünü
yani, sağ tarafın doğru olduğunu kabul edip, sol tarafı gösterelim. Söz ile ifade edersek
X ve Y nin her ikisinin de tek olması durumunda X.Y nin de tek olacağını göreceğiz.
(<==) Bu tarafı göstermek için ilk gördüğümüz ispat yöntemi olan doğrudan ispat
yöntemi daha uygundur. X ve Y nin her ikisinin de tek olduğunu kabul ederek X.Y nin de
tek olması gerektiğini göstereceğiz. X ve Y tek ise, uygun A ve B tamsayıları için;
X = 2A + 1 ve Y = 2B + 1 olsun.
X.Y = (2A + 1).(2B + 1) = 4AB + 2A + 2B + 1 = 2(2AB + A + B) + 1
Burada yine 2AB + A + B ifademiz bir tamsayı olacağından buna C dersek;
X.Y = 2(2AB + A + B) + 1 = 2C + 1 olacaktır.
Buradan da görüldüğü gibi X.Y tek sayı bulunur. Öyleyse doğrudan ispat tekniğiyle de
ispatın bu yönünü göstermiş bulunuyoruz.
Her iki yönden de önermenin doğruluğunu gösterdiğimize göre ispatı tamamlamış
bulunuyoruz.
Bu örnekten de görüleceği üzere bazı önermeleri ispatlamak için birden fazla ispat
tekniğini kullanmamız gerekebiliyor. Her ispat tekniğinin kendine göre getirdiği
kolaylıklar bulunmaktadır.

3 - Olmayana Ergi (Çelişkiyle ispat) Tekniği : Bu ispat tekniğinde hipotez
aynen alınırken, hükmün bir parçası olumsuz alınır ve bir çelişki ortaya çıkarılır. O
zaman yanlışın baştaki kabule dayandığı söylenerek ispat yapılır. 

Örnek 6 : Kendi kendisiyle toplandığında kendisini veren sayı sıfırdır.

İspat 6 : Bir x sayısını ele alalım. Önermede bizden x+x=x ise x=0 olduğunu
göstermemiz isteniyor. Bu teknik ile ispatı göstermeye çalışalım. Hükmü (veya bazı
durumlarda hükmün bir parçasını) olumsuz olarak alalım. Yani kabul edelim ki, x
sıfırdan farklı bir sayı olsun. Bu durumda x+x ifadesine bakalım. Önermede bize x+x in x
olduğu verilmişti. Yani x+x=x denilmişti. Ayrıca biz biliyoruz ki x+x=2x tir. Öyleyse bu
eşitlikleri birleştirerek;
x = 2x elde ederiz. x i sıfırdan farklı kabul ettiğimizden dolayı taraf tarafa x leri
sadeleştirirsek (x in sıfırdan farklı olduğunu kabul etmeseydik bu sadeleştirmeyi
yapamazdık).
1 = 2 sonucu elde edilir. Bu ise bir çelişkidir. Bu çelişki x i sıfırdan farklı almamızdan
kaynaklanmaktadır. Öyleyse x=0 olmalıdır. Sonuç olarak x=0 olması gerektiğinden ispat
tamamlanmış oldu.
Bu önermeden de görüldüğü gibi hükmü olumsuz kabul ederek bize verilen hipotezi
kullanıp bir çelişkiye vardık. Bu çelişkinin sebebi de hükmü olumsuz kabul etmemizdir.
Tabi bu önermede x in sıfır olması gerektiği kolaylıkla görülebiliyor ancak tekniği
anlayabilmek açısından böyle bir önerme seçtim.
Örnek 7 : sayısının rasyonel sayı olmadığını gösterin.

İspat 7 : Önermede bizden sayısının irrasyonel bir sayı olduğunu göstermemiz isteniyor.

Olmayana ergi yöntemiyle bu ispatı yapmaya çalışalım. Tekniğe göre hükmü olumsuz
kabul edelim, yani sayısı rasyonel bir sayı olsun diyelim ve bir çelişkiye varalım. O
zaman sayısını, tek ortak böleni 1 olan p ve q gibi iki tamsayının oranı şeklinde
yazabiliriz. (Not: p ve q nun tek ortak böleninin 1 olması p/q nun bir tamsayı değil
rasyonel sayı olmasını ve p/q da pay ve paydanın herhangi bir tamsayı ile
sadeleştirilemeyeceğini verir). Yani = p/q diyebiliriz. Her iki tarafın da karesini alalım. 2 =
p2
/q2 olur. Her iki yanı q2 ile çarparsak;
2q2 = p2 olur. Öyleyse buradan p2 nin bir çift sayı olduğunu söyleyebiliriz. O zaman 3
nolu örnekte ispatladığımız sonucu kullanarak p nin de bir çift sayı olduğunu
söyleyebiliriz. p çift bir sayı ise öyle bir n tamsayısı için p=2n olarak alalım.
2q2 = p2 bulmuştuk. p nin 2n olan değerini burada yerine koyarsak;
2q2 = p2 = (2n)2 = 4n2 olur. Yani 2q2 = 4n2 dir. 2 leri sadeleştirirsek;
q2 = 2n2 olur. Bu ise bize q nun da bir çift sayı olduğunu gösterir. Öyleyse yine 3 nolu
örnekte ispatladığımız sonucu kullanırsak q nun da bir çift sayı olduğunu söyleyebiliriz.
q çift bir sayıysa öyle bir m tamsayısı için q=2m olarak yazabiliriz.
Bir önceki adımda da p=2n olarak bulmuştuk. Öyleyse p=2n ve q=2m olduğundan p ve
q nun 2 gibi bir ortak böleni vardır. Ancak başta p ve q nun tek ortak böleninin 1
olduğunu söylemiştik. Bu durumda bir çelişki karşımıza çıkmıştır. Bu çelişkinin nedeni yi
rasyonel bir sayı olarak kabul edip tek ortak böleni 1 olan p ve q tamsayılarını
kullanarak p/q şeklinde yazmamızdan kaynaklanmaktadır. Öyleyse sayısı rasyonel bir
sayı olmaz, yani irrasyoneldir.
Bu ispat yöntemi ters durum ispatına benzemesine rağmen farklı olarak hipotezin
olumsuzu yerine bir çelişkiye varmaya çalışıyoruz. Bu ispat tekniklerinden farklı olarak
bir de tümevarım ile ispat tekniği vardır.

Tümevarım Yöntemi

Verilen bir ifadenin tüm doğal sayılar için doğru olduğunu ispatlamakta kullanılan oldukça pratik bir yöntemdir. Bu yönteme ifadenin önce 1 için (daha doğrusu, ifadenin doğruluğunun başladığı doğal sayı için) doğru olduğu gösterilir. Daha sonra n doğal sayısı için doğru olduğu farz edilir ve n+1 doğal sayısı için doğru olduğu gösterilir. Bu da herhangi bir doğal sayı için doğruysa sonraki için de doğru olacağını ispatladığından bütün doğal sayılar için geçerli bir ifade olduğu anlamına gelecektir. Bu yöntem genelde sonsuz sayıda domino taşlarının dizilmesine benzetilir. n. taşın devrilmesi bir sonraki yani n+1. taşın da devrilmesi anlamına geleceğinden taşların tamamı devrilecektir. Tabi ki yine n=1 için doğruluğunu söylemek lazım. Bunun için de ilk taşı devirmeniz yeterli olacaktır.

Teorem:

İspat1 (Tümevarım): Önce ifadenin n=1 için doğru olduğunu göstermeliyiz:

ki bu 1'den 1'e kadar olan sayıların toplamı demektir ve doğrudur.

Kabul:

ifadesi doğru olsun. Aynı ifadenin (n+1) için doğru olduğunu gösterelim yani

Doğru olduğunu kabul ettiğimiz ifadenin her tarafına ( n +1) ekleyelim:

n için doğru iken n +1 için de doğrudur. İspat tamamlanmıştır.

İspat2 (Doğrudan): Johann Carl Friedrich Gauss 10 yaşında küçük bir çocukken (yıl 1787) matematik öğretmeni öğrencilerinden 1'den 100'e kadar olan sayıları toplamalarını istedi. Öğrenciler daha 20'ye kadar toplamadan Gauss hocasını yanına çağırdı, amacı sonucunun doğru olup olmadığını sormaktı. Öğretmen defterdeki işlemleri görünce normal üstü bir zekayla karşı karşıya olduğunu anladı:

ispat tamamlanmıştır.

İSPATIN KULLANIM ALANLARI

İspat, günlük yaşantımızda ve neredeyse bilimin her dalında kullandığımız bir araçtır.
İspat mantığa dayanır ve mantıkta insanların karar vermede kullandığı en önemli
dayanaktır. Bu yüzden ispat günlük yaşantımızda büyük yer tutar. İnsanlar, daima
doğrulara ulaşmak ister. Bu her dalda geçerlidir ve buldukları sonuçları sabitleyebilmek
için ispata gerek duyarlar.
Bilimde ispat temeldir. Eğer biz hipotezlerimizi kanıtlamak istiyorsak, bunu deneyler ve
çeşitli yollarla kanıtlamalıyız. Aksi taktirde hipotezlerimiz kanıtlanamaz, teori veya kanun
olamazlar.

PROBLEM
||
>>    VERİ 
                    ||
                      >>
                          PROBLEME DAYALI HİPOTEZ KURMA
                                                                                               ||
                                                                                                 >>
                                                                                                   DENEY(ispat) =>> KABUL veya TERK

Bu şekilden de anladığımız gibi ispat bilimin her dalında hipotezin kanıtlanması için kullanılır. Eğer deney kısmında hipotezimizi ispatlayamazsak hipotez terk edilir bu yüzden bilimde ispatın yeri büyüktür.
İspat, bilimin her alanında kullanılır. Örneğin;
Geometride bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir. Çünkü iki iç açının toplamı bir
dış açıya eşittir ve bu dış açının bütünleyeni toplama alınmayan diğer iç açıdır ve bu üç
açının toplamı 180 derece yapar. Bunu öğrenciye kanıtlamazsak hem öğrencinin kafası
karışır hem de bilgi öğrencinin kafasına tam olarak oturmadığı için tam anlamıyla bir
öğrenme sağlanamaz.
180 –der(C1)=der(C2)
ise der(A)+der(B)+der(C2)=180
Biz ispatı coğrafyada da kullanırız. Örneğin;
Dünyanın yuvarlak olduğu sürekli batıya giderek bulunmuştur çünkü biz sürekli batıya
gidersek en sonunda başlangıç noktamıza geri dönüş yapmış oluruz ve bundan
yararlanarak dünyanın yuvarlak olduğunu söyleyebiliriz. Eğer öğrenci dünyanın
yuvarlak olduğunu sadece sözel bir kavram olarak düşünürse elbette ki bu bilgi kalıcı
A B
C1
C219
olmayacaktır. Bu sebeple bir bilgiyi sunduğundunuz kişilere mutlaka o bilginin nereden
geldiğini göstermek gerekir.
İspatın amacı bilgilerin doğruluğunu kanıtlamaktır ve bu düşünen insanların bulunduğu
her yerde geçerli ve gereklidir .İspat amaçladığı öncelikli olarak budur.


İspatın Öğrenciye Katkıları

Matematiksel iddiaların ispatlarının varlığı matematiği diğer dallardan ayırt eder. İspat
kavramından yoksun matematik deneysel bir bilime benzer. Her şeyden önce
ispat,ispatı yapanın sağlam muhakemeli olmasını ister. Daha sonra matematikte
araştırmalarını soyutlama ile yapar,tahminlerini ya ispat yada ispatlayamadığında karşıt
örneklerle sonuçlandırmaya çalışır. İspat tüm bilimlerde önemlidir. Ortaya atılan bir
teorinin doğruluğunun ispatlanması gerekir. Aksi halde teori geçersiz veya şüphelidir.
Matematikte de bir teorinin ispatı aksiyonlar yardımı ile yapılır. Aksiyomlar doğruluğunu
akıl ve mantığımızla kabul ettiğimiz kurallardır.
İspat yapan öğrenci teoremi daha iyi anlar,uzun süre unutmaz. Öğrencinin problemler
hakkında kafasında biriken soru işaretleri kaybolur. Çözdüğü problemler daha anlamlı,
daha akılcı olacağı için çözene zevk verir, başarılı olmasını sağlar. İnsan beyninin
muhakemeli olarak çalışmasını sağlar. Zaten insan beyni sağlıklı kaynaklara dayalı
olarak düşünmelidir. Sonuç olarak ispat insanın seviyesine göre olmalıdır, ve
yapılmalıdır.

Tümdengelim (dedüksiyon) Tümdengelim (dedüksiyon) “Tümdengelim” yöntemi mantıkta, bir ya da daha fazla öncülden zorunlu olarak sonucun çıkarılmasıdır ve tümelle tikel (genelle özel) arasında sıkı bir ilişki gören ve bu ilişkiyi en doğru olarak ortaya koymanın yollarını araştıran Aristotales’in buluşudur.

Tarihsel Gelişim: 

Aristotales, antikçağ Yunan düşüncesinde çağdaş anlamıyla ilk bilgindir. Kendisinden önce bütün bilgileri toplamış, iç içe geçmiş olanları birbirinden ayırmış, sınıflandırmış, eleştirmiş ve bütünlemeye çalışmıştır. Özellikle sonradan Metafizik adı verilen Prote Filosofia (İlk felsefe) adlı yapıtı Thales’den kendisine kadar glen felsefe tarihinin çok başarılı bir özetidir ve en güvenilir kaynağıdır. Topladığı bilgilerin doğruluklarını ölçmek için bilimsel bir düşünme yöntemi aramış ve doğru düşünmenin kurallarını bütün ayrıntılarıyla saptamaya çalışarak bunlara doğru düşünmenin aletleri anlamına gelen organon adını vermiştir. Aristotalesin bu doğru düşünme kurallarına sonradan mantık adı verilmiştir. Genç Aristotales henüz Akademia’da bir Platon öğrencisi iken kendisine kadar gelen düşünmede üç bakış bulunuyordu: İnsanın görünene bakışı (doğa), insanın kendisine bakışı (insan) ve insanın görünmeyene bakışı (doğa üstü)… Düşünür Aristotales yöntemsel aletler bularak bu ilkel bakışı doğru bakışa çevirmek istedi: Görünmeyenden görünene bakmak (tümdengelim “doğrulama”) görünenden görünmeyene bakmak (tümevarım “araştırma”)… Ne varki bu doğru bakışı gerçekleştirmek için düşünmenin bilimden yararlanması, eşdeyişle düşünce-doğabilim diyalektiği gerekiyordu. O çağın bilimleriyse düşünmenin pek gerisindeydiler. Bu yüzdendir ki düşünür Aristotales, düşünmesine karşılık verecek bilimi de kendisi yapmak zorundaydı. Çeşitli bilim alanlarındaki, çağının ölçülerine göre pek geniş, bilimsel çabalarının nedeni budur. Bu bilimsel çalışmalardan ve bu çalışmalar sırasında ilk felsefe (prote filosofia) doğdu. Artık çağıyla zorunlu imkanlar içinde, geleneksel büyük soruya karşılık aranacaktır: İlkneden nedir?… İlkneden en son ve en gelişmiş, Platon’un ideası olamaz. Çünkü idea görünen sayısız gerçek biçimlerinin içindedir ve o biçimlerden soyularak, eşdeyişle içlerinden çıkarılarak elde edilmiştir. Kaldı ki Platon, bu idealara nesnelere özü demektedir, öyleyse öz nasıl biçimsel nesneden ayrı ve onun dışında olabilir? Öz’süz biçim ve biçim’siz öz olamaz. Öyleyse görünenden görünmeyene bakıp araştırmalıyız ama bulduğumuzu da görünmeyenden görünene bakıp (tümdengelim) doğrulamalıyız. Tümevarımla araştırıp ideayı buluyoruz, şimdi onu tümdengelimle doğru yerine oturtmalıyız. Genelden özele inen tümdengelim yöntemi ile özelden genele çıkan tümevarım yöntemi 17. Yüzyıldan itibaren bir hayli geliştirilmiştir. Özellikle bu iki yöntem arasındaki bağlılık, ikisinin birlikte kullanılması diyalektik mantıkla gerçekleşmiştir. 19. ve 20. yüzyıllarda matematiksel mantığın problemlerine ilişkin araştırmalar tümdengelimle bağıntılı nosyonlara açıklık kazandırmış ve genelden özele bir dedüksiyon, olarak tümdengelim kavramının yetersizliğini göstermiştir. Modern tümevarım kavramı Aristotales’çi sillojistik tümdengelim (genelden özele) yorumunun geniş çaplı bir genelleştirilmesidir. Dar olarak, tümdengelim, herhangi bir tümdengelimi veya çıkarmayı belirtir.

 Tanımlamalar:  Kesin sonuç veren akıl yürütmeye çıkarım, dedüksiyon (tümdengelim) denir. Bu yönteme göre, doğanın araştırılması önce gözlemlerden genel prensiplerin çıkarılması (tümevarım) ve daha sonra genel prensiplere dayanarak gözlemlerin açıklanması (tümdengelim) aşamalarını içermektedir.

 Tümdengelim; tümelden tikeli ve genelden özeli çıkaran uslamlama yöntemidir. Tümdengelim, doğru olan ya da doğru olduğu sanılan önermelerden zorunlu olarak çıkan yeni önermeler türetir. Öncüller doğruysa sonuç da mantıksal bir zorunlulukla doğrudur. Zihnin kanunlardan, kurallara örneklere, olaylara inerek yeni bir yargıda bulunmasıdır. Tümevarımın tersine, genel ilkelerden özel durumlara inen bir akıl yürütme şeklidir. Burada herhangi bir genelleme (kanun, kural) ele alınır, sonra bundan yola çıkarak özele (olaya, örneğe) inilerek, yeni bir yargıya varılır. Tümdengelim, bir ya da birden çok öncülden mantık kanunlarına göre, bir sonuçlama (netice) ispatlayış yada çıkarsayış işlemidir. Tümdengelimle varılan bir sonuç, bir önermeler zinciridir ki, burada, önermelerin mantık kanunlarıyla doğrudan doğruya çıkarılan bir öncül yada bir önermedir. Tümdengelimle varılan bir sonuçlamada, neticeler öncüllerde saklıdır, mantıksal analiz metotlarıyle çıkarsanmaları icap eder. Tümdengelimin temelinde “bütün için doğru olan, parçaları için de doğrudur” ilkesi yatar.

 Öğretimde Tümdengelim: 

Öğrenilmiş olan genel bilgilerden yeni bilgiler elde etmede kullanılan transfer (geçiş) öğretimde, tümdengelime iyi örnek teşkil eder. Öğretimde transfer, geçmişte öğrenmiş olduğumuz bilgi ve tecrübelerin yeni bilgi ve beceriler elde etmemize uygulanması ve bunu kolaylaştırması olayıdır. Bu anlamda transfer konuların benzerliklerine, yöntemlerine, ilkelerine ait olmak üzere üç şekilde uygulanır. İşte öğrendiklerimizin transferi yapılırken genelliklerden yeni ve özel durumlara geçiş şeklinde uygulanıyorsa bu, öğretimde bir tümdengelimdir. Tümdengelimsel Metot: Tümdengelimsel Metot, yalnızca tümdengelimsel tekniklere dayanan bir bilimsel çıkarsama metodudur. Felsefede tümdengelimsel metot ve diğer metotlar arasında ayırıcı bir çizgi çizme ve tümdengelimsel muhakemeyi tecrübenin dışlanması ve bilimde tümdengelime aşırı önem verilmesi olarak tanımlama hususunda girişimlerde bulunulmuştur. Fakat tümdengelim ve tümevarım arasında karşılıklı bağıntı vardır ve tümevarımsal muhakeme insanoğlunun yüzyıllarca süren pratiksel ve bilgisel çabasına dayalıdır. Tümdengelimsel metot, genel olarak ampirik verilerin, bunların birikişinden ve teorik biçimde yorumlanışından sonra, uygun bütün sonuçları daha tam ve daha tutarlı biçimde çıkarsamak amacıyla sistemleştirilmesinde kullanılan geçerli bilimsel çıkarsama metotlarından birisidir. Bu metot yeni bilgiyi, diğer şeyler arasında, dedüktif bir tarzda formüle edilmiş olan bir teorinin mümkün yorumlarının bir toplamı kabul eder.

Tümdengelim Teoremi: 

Mantık ötesi anahtar bir terim ki şu demektir: eğer B önermesi, A öncülünün de doğru olduğu varsayımı (assumption) üzerinde çıkarsanmışsa, o takdirde, (A muteberdir) varsayımı olmaksızın, belirli sayıda öncüllerden, mademki A vardır, öyleyse B’ de vardır sonucu çıkarılabilir. Tümdengelim Teoremi önemli muhtelif mantıksal sistemlere uygulanmaktadır, klasik ve konstrüktif önermeler ve yüklemler hesabı, formel aritmetik vb. Tümdengelim teoremi, bazı sistemler için, örneğin belirli modal mantık sistemleri için geçerli değildir. Tümdengelim teoremi formalize edilmiş-olmayan muhakemede geniş biçimde kullanılır. Tümdengelim teoremi ispat sürecini basitleştirir. O, ilk olarak tek bir sistem için, Jacques Herbrand tarafından tanımlanmış ve ispat edilmiş ve genel bir metodolojik ilke olarak 1932’de Tarski tarafından formüllendirilmiştir.